Question

1．已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=2^x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其值域；
（2）設(shè)x₀是方程f（x）=4-x的解，且x₀∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；
（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性即可求函數(shù)f（x）的解析式及其值域；
（2）根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系進行求解即可；
（3）構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：（1）若x＜0，則-x＞0，
則當-x＞0時，f（-x）=2^-x．
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=2^-x=-f（x），
則f（x）=-2^-x，x＜0，
當x=0時，f（0）=0，
則$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}\;，\;\;x＞0\;，\;\;\\ 0\;，\;\;x=0\;，\;\;\\-{2^{-x}}\;，\;\;x＜0\;．\;\;\end{array}\right.$…3分
值域為（-∞，-1）∪{0}∪（1，+∞）．…5分
（2）令$g（x）=f（x）-（4-x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+x-4\;，\;\;x＞0\;，\;\;\\-4\;，\;\;x=0\;，\;\;\\-{2^{-x}}+x-4\;，\;\;x＜0\;．\;\;\end{array}\right.$
顯然x=0不是方程f（x）=4-x的解．
當x＜0時，g（x）=-2^-x+x-4＜0，
∴方程f（x）=4-x無負數(shù)解．  …7分
當x＞0時，g（x）=2^x+x-4單調(diào)遞增，所以函數(shù)g（x）至多有一個零點；…8分
又g（1）=-1＜0，g（2）=2＞0，由零點存在性原理知g（x）在區(qū)間（1，2）上至少有一個零點．   …9分
故g（x）的惟一零點，即方程f（x）=4-x的惟一解x₀∈（1，2）．
所以，由題意，n=1． …10分
（3）設(shè)h（x）=2^-x-x，則h（x）在[1，+∞）上遞減．
∴$h{（x）_{max}}=h（1）=-\frac{1}{2}$．…13分
當x≥1時，f（x）=2^x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2^-x-x．
∴當$a＜-\frac{1}{2}$時，存在x≥1，使得a＜2^-x-x成立，
即關(guān)于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解．…16分．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)與方程以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域問題，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．