Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，${a_2}=\frac{2}{3}$，且$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}（a∈{N^*}，n≥2）$，則a₆=（　�。�

• A． $\frac{1}{7}$
• B． $\frac{2}{7}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 7

Answer 1

分析 通過(guò)$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}（a∈{N^*}，n≥2）$、a₁=1、${a_2}=\frac{2}{3}$易知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}（a∈{N^*}，n≥2）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，
又∵a₁=1，${a_2}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
即數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$，
∴a₆=$\frac{2}{7}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．