Question

5．已知直線(xiàn)l：y=2x和雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為（1，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)y=2x無(wú)交點(diǎn)，有$\frac{a}$≤2，利用e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$可得e的范圍．

解答 解：雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，
∵雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)y=2x無(wú)交點(diǎn)，
∴$\frac{a}$≤2，
即e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{5}$，
∵e＞1，
∴1＜e≤$\sqrt{5}$．
故答案為：（1，$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)和離心率，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交等問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．