Question

10．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），橢圓E的右焦點到直線l：x-y+1=0的距離為$\sqrt{2}$．橢圓E的右頂點到右焦點與直線x=2的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若直線l與橢圓E交于M，N兩點，l與x軸，y軸分別交于C，D兩點，記MN的中點為G，且C，D兩點到直線OG的距離相等，當△OMN的面積最大時，求△OCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意得到關于a，c的方程，求出a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設出直線l的方程y=kx+t，和橢圓方程聯(lián)立，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到M，N的橫坐標的和與積，再由點到直線的距離公式求出O到直線的距離，代入三角形面積公式，結合MN的中點為G，且C，D兩點到直線OG的距離相等可得k的值，把三角形面積轉化為含有t的關系式，則求出使三角形OMN的面積最大時的k與t的值，進一步求得△OCD的面積．

解答 解：（1）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|c+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}}\\{\frac{a-c}{|a-2|}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{2}，c=1$，
∴b²=a²-c²=2-1=1，
則橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）如圖，設直線l的方程為y=kx+t，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-2）=16k²-8t²+8＞0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由C，D兩點到直線OG的距離相等，可知G為CD的中點，
由直線方程為y=kx+t，
得C（-$\frac{t}{k}，0$），D（0，t），
∴G（$-\frac{t}{2k}，\frac{t}{2}$），
又G為MN的中點，
∴$-\frac{t}{2k}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2kt}{1+2{k}^{2}}$，解得${k}^{2}=\frac{1}{2}$，
代入△=16k²-8t²+8＞0，可得t²＜2．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（-\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4\frac{2{t}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2{t}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$．
原點O到直線y=kx+t的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
∴${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}•\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}•2\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2{t}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{|t|\sqrt{4{k}^{2}-2{t}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$．
代入${k}^{2}=\frac{1}{2}$，可得
${S}_{△OMN}=\frac{\sqrt{2}|t|\sqrt{2-{t}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{-{t}^{4}+2{t}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{（-{t}^{2}-1）^{2}+1}$．
由t²＜2知，當t²=1時，S_△OMN取得最大值，等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
此時${t}^{2}=1，{k}^{2}=\frac{1}{2}$，$|k|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}|OC|•|OD|=\frac{1}{2}$$|\frac{t}{k}|•|t|$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了橢圓方程的求法，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，化為關于x的一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關系求解，是壓軸題．