20.已知圓P過點A(1,0),且圓心P(a,2)(a≠0)到直線m:4x-3y+1=0的距離為1,以坐標(biāo)原點為對稱中心且交點落在y軸上的橢圓Ω的離心率與直線2$\sqrt{2}$x-2y+3=0的斜率互為倒數(shù),過點A作一條不與x軸垂直的直線l與橢圓Ω交于C,D兩點.
(1)求直線m被圓P所截得的弦長;
(2)若B(4,0),x軸恰為∠CBD的角平分線,求橢圓Ω的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析 (1)由圓心到直線的距離列式求出圓的圓心坐標(biāo),再由兩點間的距離求出圓的半徑,由圓的半徑、弦心距和弦長間的關(guān)系求得直線m被圓P所截得的弦長;
(2)求直線的斜率,得到橢圓的離心率,進(jìn)一步得到橢圓長半軸長和短半軸長的關(guān)系,得到橢圓方程,設(shè)出直線l的方程,和橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x軸恰好為∠CBD的角平分線列式求得b,則橢圓方程可求.

解答 解:(1)由題意可知,$\frac{|4a-6+1|}{\sqrt{{4}^{2}+(-3)^{2}}}=1$,解得a=$\frac{5}{2}$,
∴圓心坐標(biāo)為($\frac{5}{2},2$),則半徑為$\sqrt{(\frac{5}{2}-1)^{2}+{2}^{2}}=\frac{5}{2}$,
∴圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x-\frac{5}{2})^{2}+(y-2)^{2}=\frac{25}{4}$,
則直線m被圓P所截得的弦長為$2×\sqrt{\frac{25}{4}-1}=2×\frac{\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}$;
(2)由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),
∵直線2$\sqrt{2}$x-2y+3=0的斜率為$\sqrt{2}$,∴橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
即$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$,則a2=2b2
∴橢圓方程為2x2+y2=2b2
如圖,
設(shè)過A的直線l的方程為y-0=k(x-1),即y=kx-k.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-x}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=2^{2}}\end{array}\right.$,得(2+k2)x2-2k2x+k2-2b2=0.
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}-2^{2}}{{k}^{2}+2}$,
由x軸恰好為∠CBD的角平分線,得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}=-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$,即2x1x2-5(x1+x2)+8=0.
∴$\frac{2{k}^{2}-4^{2}}{{k}^{2}+2}-\frac{10{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$+8=0,即b2=4.
∴橢圓Ω方程為:$\frac{{y}^{2}}{8}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$.

點評 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法,是中檔題

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(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l與橢圓E交于M,N兩點,l與x軸,y軸分別交于C,D兩點,記MN的中點為G,且C,D兩點到直線OG的距離相等,當(dāng)△OMN的面積最大時,求△OCD的面積.

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