如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）設PD的中點為M，求證：AM∥平面PBC；
（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值．
（1）證明：如圖建立空間直角坐標系，設PD=CD=2AD=2，BC=
2
a，則A（1，0，0），B（a，2-a，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，0，1）．…（3分）
設平面PBC的一個法向量為
n
=(x，y，z)，則
n
•
PB
=0，
n
•
PC
=0
∴ax+y（2-a）-2z=0，2y-2z=0
令z=1得
n
=(1，1，1)．…（7分）
而
AM
=(-1，0，1)，所以
AM
•
n
=0，即
AM
⊥
n
，
又AM?平面PBC
故AM∥平面PBC；．…（9分）
（2）
PA
=(1，0，-2)，設PA與平面PBC所成角為α，
由直線與平面所成角的向量公式有sinα=
|
PA
•
n
|
|
PA
||
n
|
=
1
5
×
3
=
15
15
．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周）。若AM⊥MP，則P點形成的軌跡的長度為（    ）
A．B．C． 3D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M為
AD的中點．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD的正視圖是邊長為2的正方形，側視圖和俯視圖是全等的等腰三角形，直線邊長為2．
（1）求二面角C-SB-A的大�。�
（2）P為棱SB上的點，當SP的長為何值時，CP⊥SA？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點．
（1）求|
SC
+
SD
|的值；
（2）求面SCD與面SAB所成的二面角大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°
（1）證明：AB⊥A1C；
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=
1
2
CD=1，PD⊥面ABCD，PD=
2
，E是PC的中點
（1）證明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四邊形ABCD與CDEF均為正方形，平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求證：ED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
（1）求證：C′E∥面AB′D′；
（2）求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值；
（3）求四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分體積．

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