Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
（1）證明：AB⊥A₁C；
（2）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AB=CB，求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的余弦值．

Answer 1

證明：（1）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA₁，A₁B，
因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
所以△AA₁B為等邊三角形，所以O(shè)A₁⊥AB，
又因?yàn)镺C∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C，
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；
（2）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交線為AB，
所以O(shè)C⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC兩兩垂直．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

的方向?yàn)閤軸的正向，|

OA

|為單位長，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可得A（1，0，0），A₁（0，

3

，0），C（0，0，

3

），B（-1，0，0），
則

BC

=（1，0，

3

），

.

BB1

=

.

AA1

=（-1，

3

，0），

A1C

=（0，-

3

，

3

），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BB₁C₁C的法向量，
則

n • BC =0 n • BB1 =0

，即

x+ 3 z=0 -x+ 3 y=0

，
可取y=1，可得

n

=（

3

，1，-1），
故sin＜

n

，

A1C

＞=

| n • A1C |

| n |•| A1C |

=

10

5

∴cos＜

n

，

A1C

＞=

15

5