Question

已知A（2，0），B（5，9），動點D滿足條件：

OD

=t

OA

+（1-t）

OB

，t∈R．
（1）求動點D的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）；
（2）動點D的軌跡與拋物線y²=9x相交于P，Q兩點，求線段PQ中點M的坐標．

Answer 1

考點：軌跡方程,向量加減混合運算及其幾何意義

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點D（x，y），利用

OD

=t

OA

+（1-t）

OB

，可得動點D的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）；
（2）直線的參數(shù)方程代入y²=9x，求出中點M相應(yīng)的參數(shù)，即可求出線段PQ中點M的坐標．

解答： 解：（1）設(shè)點D（x，y），則

OD

=（x，y），

OA

=（2，0），

OB

=（5，4）
由已知得：（x，y）=t（2，0）+（1-t）（5，9）…2分
化簡得：（x，y）=（5-3t，9-9t）      …4分
故動點D的軌跡的參數(shù)方程為

x=5-3t y=9-9t

（t為參數(shù)）．…5分
（2）直線的參數(shù)方程為

x=5-3t y=9-9t

（t為參數(shù)）．
代入y²=9x，得9t²-15t+4=0          …7分
中點M相應(yīng)的參數(shù)是t=

t1+t2

2

=

5

6

      …9分
故PQ中點M的坐標為（

5

2

，

3

2

）．                   …10分

點評：本題考查向量知識的運用，考查參數(shù)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確運用參數(shù)方程是關(guān)鍵．