Question

7．已知：已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+2ax，
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線的斜率為-6，求實數(shù)a；
（Ⅱ）若a=1，求f（x）的極值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時，f（x）在[1，4]上的最小值為-$\frac{16}{3}$，求f（x）在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率為-6，即可求實數(shù)a；
（Ⅱ）通過a=1，利用導(dǎo)函數(shù)為0，判斷導(dǎo)數(shù)符號，即可求f（x）的極值；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，通過f（x）在[1，4]上的最小值為-$\frac{16}{3}$，即可求出a，然后求f（x）在該區(qū)間上的最大值．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因為f′（x）=-x²+x+2a，
曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線的斜率k=f′（2）=2a-2，-------------（3分）
依題意：2a-2=-6，a=-2．-------------（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2x$，f′（x）=-x²+x+2=-（x+1）（x-2）----（5分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)減	$-\frac{7}{6}$	單調(diào)增	$\frac{10}{3}$	單調(diào)減

所以，f（x）的極大值為$\frac{10}{3}$，f（x）的極小值為$-\frac{7}{6}$．---------------------------------------（10分）
（Ⅲ）令f′（x）=0，得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1+8a}}}{2}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+8a}}}{2}$，
f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜2時，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（x₂），f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值為$f（4）=8a-\frac{40}{3}=-\frac{16}{3}$，解得：a=1，x₂=2．
故f（x）在[1，4]上的最大值為$f（2）=\frac{10}{3}$．-------------------（14分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程以及極值的求法，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的最值的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．