Question

【題目】（1）求函數(shù)在的最大值；

（2）證明：函數(shù)在有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)性即可；

（2）首先利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，即可得到，然后分別證明，，，然后即可證明.

（1），則在上單調(diào)遞增，

又，

所以在有唯一的零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

時(shí)，單調(diào)遞增.

又，

所以在的最大值為.

（2），

則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

又，

所以在有唯一的零點(diǎn)，

此時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，

所以是極小值點(diǎn)，不妨令.

當(dāng)時(shí)，，所以；

當(dāng)，設(shè).

由（1）知， 有唯一的零點(diǎn)，

則時(shí)，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；

時(shí)，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增

又，

所以在有唯一的零點(diǎn)，

此時(shí)時(shí)，；時(shí)，，

所以是極大值點(diǎn)，即，

所以在有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，，

且，由于，所以.

因?yàn)?/span>，，

所以，即.

又，所以，同理，

所以. .