Question

已知曲線C₁的參數方程為

x= 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π）
（Ⅰ）求曲線C₁與C₂交點的極坐標；
（Ⅱ）設曲線C₁與C₂的交點為A，B，線段AB上兩點C，D，且|AC|=|BD|=

2

2

，P為曲線C₁上的點，求|PC|+|PD|的最大值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,圓的參數方程

專題：計算題,坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）直接化圓的參數方程為普通方程，化直線的極坐標方程為直角坐標方程，聯(lián)立方程組求出交點的直角坐標，然后化為極坐標；
（Ⅱ）設出C，D的坐標，由兩點間的距離公式求出C，D的坐標，再由連點間的距離公式得到|PC|+|PD|=

5 2 -2sin(θ+ π 4 )

+

5 2 +2sin(θ+ π 4 )

．由基本不等式得到最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由

x= 2 cosθ y= 2 sinθ

，得x²+y²=2．
由ρcosθ-ρsinθ=0，得x-y=0．
聯(lián)立

y=x x2+y2=2

，解得：x=±1．
∴曲線C₁與C₂交點的坐標為（1，1），（-1，-1）．
∵ρ≥0，0≤θ＜2π，
∴曲線C₁與C₂交點的極坐標為(

2

，

π

4

)，(

2

，

5π

4

)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（1，1），B（-1，-1）．
設C（m，m），D（n，n），
由C，D在線段AB上，且|AC|=|BD|=

2

2

，得：
C(

1

2

，

1

2

)，D(-

1

2

，-

1

2

)．
∴|PC|+|PD|=

( 2 cosθ- 1 2 )2+( 2 sinθ- 1 2 )2

+

( 2 cosθ+ 1 2 )2+( 2 sinθ+ 1 2 )2

=

5 2 -2sin(θ+ π 4 )

+

5 2 +2sin(θ+ π 4 )

．
∴(|PC|+|PD|)2=(

5 2 -2sin(θ+ π 4 )

+

5 2 +2sin(θ+ π 2 )

)2
≤2(

5

2

-2sin(θ+

π

4

)+

5

2

+2sin(θ+

π

2

))=10．
∴|PC|+|PD|≤

10

．
當且僅當θ=

3

4

π或

7

4

π時取到“=”號．

點評：本題考查參數方程化普通方程，考查了極坐標方程化極坐標方程，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．