Question

16．隨著社會(huì)發(fā)展，襄陽市在一天的上下班時(shí)段也出現(xiàn)了堵車嚴(yán)重的現(xiàn)象．交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為T，其范圍為[0，10]，分別有5個(gè)級(jí)別：T∈[0，2）暢通；T∈[2，4）基本暢通；T∈[4，6）輕度擁堵；T∈[6，8）中度擁堵；T∈[8，10]嚴(yán)重?fù)矶拢�早高峰時(shí)段（T≥3 ），從襄陽市交通指揮中心隨機(jī)選取了一至四馬路之間50個(gè)交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示：
（I）據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（II）據(jù)此直方圖求出早高峰一至四馬路之間的3個(gè)路段至少有2個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?br />（III）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘，中度擁堵為45分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能估算交通指數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)事件A為“1條路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒tP（A）=0.1，由此能求出3條路段中至少有2條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕剩?br />（Ⅲ）由題意，求出所用時(shí)間X的分布列，由此能求出此人上班路上所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由直方圖知：T∈[3，5）時(shí)，頻率為0.1+0.20=0.30，
T∈[5，6）時(shí)，頻率為0.24，
∴交通指數(shù)的中位數(shù)為 5+1×$\frac{0.5-0.3}{0.24}$=$\frac{35}{6}$．…（2分）
交通指數(shù)的平均數(shù)為：4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16=4.72．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)事件A為“1條路段嚴(yán)重?fù)矶隆�，則P（A）=0.1，
則3條路段中至少有2條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿椋?br />P=C₃²×（$\frac{1}{10}$）²×（1-$\frac{1}{10}$）+C₃³×（$\frac{1}{10}$）³=$\frac{7}{250}$，
所以3條路段中至少有2條路段嚴(yán)重?fù)矶碌母怕蕿?\frac{7}{250}$．…（8分）
（Ⅲ）由題意，所用時(shí)間X的分布列如下表：

X	30	35	45	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

則E（X）=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6，
所以此人上班路上所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是40.6分鐘．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．