Question

6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足$\sqrt{3}a=b（sinC+\sqrt{3}cosC）$．
（1）求∠ABC；
（2）若$∠A=\frac{π}{3}$，D為△ABC外一點，DB=2，DC=1，求四邊形ABDC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及三角形內(nèi)角和定理化簡已知可得tanB=$\sqrt{3}$，由B∈（0，π），即可求得B的值．
（2）由已知利用余弦定理可求BC²=5-4cosD．利用三角形面積公式可求S△ABC=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\sqrt{3}$cosD，
S△BDC=sinD，根據(jù)三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得S四邊形ABDC=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（D-$\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\sqrt{3}a=b（sinC+\sqrt{3}cosC）$．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinA=sinBsinC+$\sqrt{3}$sinBcosC，…（2分）
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，
∴可得：$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$sinCcosB=sinBsinC+$\sqrt{3}$sinBcosC，
可得：$\sqrt{3}$sinCcosB=sinBsinC，
∵sinC≠0，解得sinB=$\sqrt{3}$cosB，即：tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$． …（6分）
（2）在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD． …（7分）
又$∠A=\frac{π}{3}$，由（1）可知△ABC為等邊三角形，…（8分）
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（5-4cosD）=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\sqrt{3}$cosD，…（9分）
又∵S_△BDC=$\frac{1}{2}×BD×CD×sinD$=sinD，…（10分）
∴S_{四邊形ABDC}=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\sqrt{3}$cosD+sinD=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2sin（D-$\frac{π}{3}$）．    …（11分）
∴當D=$\frac{5π}{6}$時，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為$\frac{5\sqrt{3}}{4}$+2．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，考查了運算求解能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．