Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，AC=1，AA₁=2，∠BAC=90°，若直線AB₁與直線A₁C的夾角的余弦值是$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，則棱AB的長度是2．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標系，求出向量的坐標，利用直線AB₁與直線A₁C的夾角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示的坐標系，設AB=x，則A（0，0，0），B₁（x，0，2），A₁（0，0，2），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（x，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，1，-2），
∵直線AB₁與直線A₁C的夾角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即$\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+4}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，∴x=2．
故答案為：2．

點評 題考查異面直線所成角的運用，考查學生分析解決問題的能力，考查向量知識，屬于中檔題．