Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$．
（1）求角A的大��；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）把已知的兩等式變形后，根據(jù)兩角和的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，分別根據(jù)A和C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
（2）由正弦定理可求sinB，利用大邊對(duì)大角及特殊角的三角函數(shù)值可求B，進(jìn)而利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，且A+B+C=180°，
∴$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\sqrt{3}$，即tan（B+C）=-tanA=$\sqrt{3}$，
∴tanA=-$\sqrt{3}$，
∵0°＜A＜180°，
∴∠A=120°．
（2）∵a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，∠A=120°．
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結(jié)合b＜a，可得B=45°，
∴sinC=sin（60°-45°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，以及大邊對(duì)大角，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，其中靈活運(yùn)用公式把已知的兩等式進(jìn)行三角函數(shù)的恒等變形，得到A的度數(shù)，進(jìn)而得到C的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．