Question

5．若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x-a$有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是$（-9，\frac{5}{3}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出函數(shù)的導數(shù)并且通過導數(shù)求出出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到原函數(shù)的極值，因為函數(shù)存在三個不同的零點，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即可單調(diào)答案．

解答 解：由題意可得：f′（x）=x²-2x-3．
令f′（x）＞0，則x＞3或x＜-1，令f′（x）＜0，則-1＜x＜3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），減區(qū)間為（-1，3），
所以當x=-1時函數(shù)有極大值f（-1）=$\frac{5}{3}$-a，當x=3時函數(shù)有極小值f（3）=-9-a，
因為函數(shù)f（x）存在三個不同的零點，
所以f（-1）＞0并且f（3）＜0，
解得：-9＜c＜$\frac{5}{3}$．
所以實數(shù)a的取值范圍是 （-9，$\frac{5}{3}$）．
故答案為：$（-9，\frac{5}{3}）$．

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用導數(shù)球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值，并且掌握通過函數(shù)零點個數(shù)進而判斷極值點與0的大小關系．