Question

（本小題滿分12分）．如圖，在直角梯形中，，，且

,現以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形

翻折，使平面與平面垂直，為的中點

   (I) 求證： ∥平面；

  （Ⅱ）求證： 平面；

(III) 求二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

 

（I）證明：取中點，連結．

    在△中，分別為的中點，

 所以∥，且．

    由已知∥，，

 所以∥，且．

    所以四邊形為平行四邊形．

 所以∥ 

    又因為平面，且平面，

    所以∥平面．                                ………………………4分

（II）證明：在正方形中，．

    又因為平面平面，且平面平面，

    所以平面． 

所以．                                  

在直角梯形中，，，可得．

    在△中，， 所以．

所以． 又                    

 所以平面．                            …………………………8分

（III）由已知及（II）得，兩兩互相垂直，所以分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則

設平面的法向量為

則由得取得

設平面的法向量為

則由得取得

，

所以二面角的大小為                   …………………12分

 

【解析】略