【題目】如圖,四邊形為菱形,四邊形為平行四邊形,設相交于點,

1)證明:平面平面;

2)若與平面所成角為60°,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)根(1)要證面面垂直,需要找線面垂直,本題中重點分析線段,利用條件底面是菱形可得,通過全等可知,從而,故是平面的垂線,從而得證;(2)涉及二面角的計算,一般需要建系設點,計算平面的法向量,利用二面角與法向量夾角之間的關系處理,需要注意建系時分析清楚哪三條線互相垂直.

試題解析:

(1)證明:連接,

∵四邊形為菱形,

,

中,

,

,

平面,

平面

∴平面平面;

(2)

解法一:過垂線,垂足為,連接,易得與面所成的角,

,

,

平面,

為二面角的平面角,

可求得

中由余弦定理可得: ,

∴二面角的余弦值為;

解法二:如圖,在平面內(nèi),過的垂線,交點,由(1)可知,平面平面,

平面,

∴直線兩兩互相垂直,

分別軸建立空間直角坐標系,

易得與平面所成的角,∴,

,

設平面的一個法向量為,則

,且

,可得平面的一個法向量為,

同理可求得平面的一個法向量為,

∴二面角的余弦值為

練習冊系列答案
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