Question

12．已知點P在函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上，過點P的直線交x、y軸正半軸于點A、B，O為坐標(biāo)原點，三角形△AOB的面積為S，若$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PA}$且S∈[2，3]，則λ的取值范圍是[2-$\sqrt{3}$，2$+\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，b），P（x₀，y₀），a＞0，b＞0，由$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PA}$，得到x₀=$\frac{aλ}{1+λ}$，y₀=-$\frac{1+λ}$，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和三角形的面積公式即可表示出4≤$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$≤6，解得即可．

解答 解：設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，b），P（x₀，y₀），a＞0，b＞0，
則由$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PA}$，
∴x₀=$\frac{aλ}{1+λ}$，y₀=-$\frac{1+λ}$，
∴x₀•y₀=$\frac{abλ}{（1+λ）^{2}}$=1，
∴ab=$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$，
∵S∈[2，3]，S=$\frac{1}{2}$ab，
∴ab∈[4，6]，
∴4≤$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$≤6，
解得.2-$\sqrt{3}$≤λ≤2$+\sqrt{3}$
故答案為：[2-$\sqrt{3}$，2$+\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了定比分點以及函數(shù)的性質(zhì)和三角形的面積公式，屬于中檔題．