Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x+1}$，x∈[0，+∞）
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當(dāng)0＜a＜1時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，將函數(shù)f（x）變形，然后利用均值不等式即可求出函數(shù)f（x）的最小值；
（2）先取值任取0≤x₁＜x₂然后作差f（x₁）-f（x₂），判定其符號即可判定函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=x+$\frac{2}{x+1}$=x+1+$\frac{2}{x+1}$-1≥2$\sqrt{2}$-1
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{2}{x+1}$，即x=$\sqrt{2}$-1時取等號，
∴f（x）_min=2$\sqrt{2}$-1．
（2）當(dāng)0＜a＜1時，任取0≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）[1-$\frac{a}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$]，
∵0＜a＜1，（x₁+1）（x₂+1）＞1，
∴1-$\frac{a}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$＞0，
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=a．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的最值的求解，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，同時考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．