Question

△ABC中，BC=a，CA=b，以邊AB為一邊長向外作正方體ABEF，O為正方形ABEF的中心，M，N分別為邊BC、CA的中點．當∠BCA變化時，求OM+ON的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理的應用

專題：解三角形

分析：如圖所示，在△OBM中，設AB=c，∠ABC=β．在△OBM中，由余弦定理得：
OM²=(

2

2

c)2+(

1

2

a)2-2×

2

2

c×

1

2

a•cos(

π

4

+β)=

1

2

c2+

1

4

a2-

1

2

ac(cosβ-sinβ)．
在△ABC中，由余弦定理和正弦定理可得：cosβ=

a2+c2-b2

2ac

，c²=a²+b²-2abcosC，

b

sinβ

=

c

sinC

，
得到OM²=

1

2

b2+

1

4

a2+

2

2

absin(C-

π

4

)．同理可得：ON2=

1

2

a2+

1

4

b2+

2

2

sin(C-

π

4

)．
∴當C=

3π

4

時，(OM2)max=

1

2

b2+

1

4

a2+

2

2

ab，(ON2)max=

1

2

a2+

1

4

b2+

2

2

ab．即可得出．

解答： 解：如圖所示，在△OBM中，設AB=c，∠ABC=β．
在△OBM中，由余弦定理得：
OM²=(

2

2

c)2+(

1

2

a)2-2×

2

2

c×

1

2

a•cos(

π

4

+β)
=

1

2

c2+

1

4

a2-

1

2

ac(cosβ-sinβ)．
在△ABC中，由余弦定理和正弦定理可得：cosβ=

a2+c2-b2

2ac

，c²=a²+b²-2abcosC，

b

sinβ

=

c

sinC

，
得到OM²=

1

2

c2+

1

4

a2-

1

2

ac(

a2+c2-b2

2ac

-

bsinC

c

)
=

c2+b2+2absinC

4

=

a2+b2-2abcosC+b2+2absinC

4

=

1

2

b2+

1

4

a2+

2

2

absin(C-

π

4

)．
同理可得：ON2=

1

2

a2+

1

4

b2+

2

2

sin(C-

π

4

)．
∴當C=

3π

4

時，(OM2)max=

1

2

b2+

1

4

a2+

2

2

ab，(ON2)max=

1

2

a2+

1

4

b2+

2

2

ab．
（OM+ON）_max=

1

2

a+

2

2

b+

1

2

b+

2

2

a=

1+ 2

2

(a+b)．

點評：本題考查了正弦定理和余弦定理的應用，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．