Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．
（1）直線l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）求直線l的曲線C交點的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）將直線直l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，即可化為普通方程，將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0可得極坐標(biāo)方程．
（2）C曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為普通方程，與直線方程聯(lián)立可得交點坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）將直線直l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，化為普通方程$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0，
將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0得$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}$=0．
（2）C曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
化為普通方程為x²+y²-4x=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴l(xiāng)與C交點的極坐標(biāo)分別為：$（2，\frac{5π}{3}）$，$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．