Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足條件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得：函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

3

2

對(duì)稱，f（1）=0，函數(shù)的最小值為

1

4a

-

1

2

，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組，解得f（x）的解析式．
（2）若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上不單調(diào)，則-2＜

3+k

2

＜2，解得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足條件：①f（3-x）=f（x），即函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

3

2

對(duì)稱；
②f（1）=0；
③對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立，即函數(shù)存在最小值

1

4a

-

1

2

．
∴

a＞0 - b 2a = 3 2 a+b+c=0 4ac-b2 4a = 1 4a - 1 2

，
解得：

a=1 b=-3 c=2

，
∴f（x）=x²-3x+2，
（2）若g（x）=f（x）-kx=x²-（3+k）x+2在[-2，2]上不單調(diào)，
則-2＜

3+k

2

＜2，
解得：-7＜k＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．