Question

設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點(diǎn)，P，Q是單位圓上兩點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，且∠AOP=

π

6

，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（m，

6

3

），求cos（α-

π

6

）的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（α）=

OP

•

OQ

，求f（α）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義知，sinα=

6

3

，從而可得cosα=±

3

3

，利用兩角差的余弦即可求得cos（α-

π

6

）的值；
（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得f（α）=

OP

•

OQ

=sin（α+

π

3

），α∈[0，π），則α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得f（α）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得m=cosα=±

3

3

，sinα=

6

3

，…（2分）
所以 cos(α-

π

6

)=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

±3+ 6

6

 …（4分）
（Ⅱ）f（α）=

OP

•

OQ

=（cos

π

6

，sin

π

6

）•（cosα，sinα）
=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin(α+

π

3

)．…（6分）
因?yàn)棣痢蔥0，π），則α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

)，所以-

3

2

＜sin(α+

π

3

)≤1，
故f（α）的值域是(-

3

2

，1]．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．