Question

設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(n≥1，n∈N*),

令

(1) 求證：數(shù)列是常數(shù)列；

 (2) 求證：當(dāng)n≥2時(shí)，；

(3) 求a2 015的整數(shù)部分.

Answer 1

 (1) 易知，對一切n≥1，an≠0，由an＋2＝，得＝.

依次利用上述關(guān)系式，可得

＝＝＝…＝＝＝1，

從而數(shù)列是常數(shù)列．

(2) 由(1)得an＋1＝an＋.

又a1＝1，∴可知數(shù)列{an}遞增，則對一切n≥1，有an≥1成立，從而0＜≤1.

當(dāng)n≥2時(shí)，a＝＝a＋＋2，

于是a－a＝＋2，

∴2＜a－a≤3.

(3) 當(dāng)n≥2時(shí)，a＝a＋＋2，

∴a＝＋…＋＋a＋2(n－1)．

a＝1，a＝4，則當(dāng)n≥3時(shí)，

a＝＋…＋＋a＋2(n－1)

＝＋…＋＋1＋1＋2(n－1)

＝＋…＋＋2n＞2n.，

又

＝4 029＋＋…＋＝4 030＋

＝4 030＋++

<4 030＋<4 096＝642.

∴63＜＜64，即的整數(shù)部分為63.