Question

12．在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f（x）與g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是“接近“的，否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是“非接近”的．現(xiàn)有f（x）=log_a（x+2），g（x）=log_a$\frac{1}{x+1}$（其中a＞1），試討論f（x）與g（x）在給區(qū)間[0，1]上是否是接近？

Answer 1

分析 由x的范圍求出|f（x）-g（x）|的范圍，由其最大值小于等于1求得a的范圍，可得當1＜a＜6時，f（x）與g（x）在給區(qū)間[0，1]上是“非接近”的；當a≥6時，f（x）與g（x）在給區(qū)間[0，1]上是“接近”的．

解答 解：|f（x）-g（x）|=|log_a（x+2）-log_a$\frac{1}{x+1}$|=|log_a（x+1）（x+2）|．
令t=（x+1）（x+2）．
當x∈[0，1]時，t∈[2，6]．
∵a＞1，∴|log_a（x+1）（x+2）|=|log_at|=log_at∈[log_a2，log_a6]．
由log_a6≤1，得a≥6．
∴當1＜a＜6時，f（x）與g（x）在給區(qū)間[0，1]上是“非接近”的；
當a≥6時，f（x）與g（x）在給區(qū)間[0，1]上是“接近”的．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質和應用，對題意的理解是解答該題的關鍵，屬中檔題．