Question

4．已知 AC，BD是圓x²+y²=4的互相垂直的兩條弦，垂足為M（1，$\sqrt{2}}$），則四邊形ABCD面積的最大值為M，最小值為N，則M-N的值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂² =3，代入面積公式s=$\frac{1}{2}$AC×BD，使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值；當(dāng) AC，BD中一條經(jīng)過圓心時，四邊形ABCD面積有最小值，求出最小值，則答案可求．

解答 解：如圖，
連接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分別為E、F，
∵AC⊥BD，
∴四邊形OEMF為矩形
已知OA=OC=2  OM=$\sqrt{3}$，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
則d₁²+d₂²=OM²=3．
四邊形ABCD的面積為：s=$\frac{1}{2}$•|AC|（|BM|+|MD|），
從而：s=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt{（4-{8kcw02y_{1}}^{2}）（4-{0ao8ik2_{2}}^{2}）}$≤8-（${40i08gg_{1}}^{2}+{soysggw_{2}}^{2}$）=5，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時取等號，∴M=5；
當(dāng) AC，BD中一條經(jīng)過圓心時，四邊形ABCD面積有最小值，
不妨設(shè)AC經(jīng)過圓心，則|AC|=4，|OM|=$\sqrt{3}$，則|MD|=1，|BD|=2，
∴N=$\frac{1}{2}×2×4=4$．
∴M-N=5-4=1．
故選：D．

點評 本題考查圓的方程，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了圓內(nèi)接矩形面積最值的求法，是中檔題．