Question

13．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+2．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，恒坐標(biāo)縮小到原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再將所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程g（x）=t在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式、和差公式及其三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（Ⅱ）由圖象變換可得到函數(shù)g（x）=$2sin（4x-\frac{π}{6}）$，由$0≤x≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{6}$≤$4x-\frac{π}{6}$≤$\frac{11π}{6}$，由g（x）=0，可得$4x-\frac{π}{6}$=0，π，2π，3π．即可得出．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+2=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+3
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$+3．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．
（Ⅱ）由題意，將圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再將所得的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，
可得到函數(shù)g（x）=$2sin（4x-\frac{π}{6}）$+3，
由$0≤x≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{6}$≤$4x-\frac{π}{6}$≤$\frac{11π}{6}$，
由g（x）=0，可得$4x-\frac{π}{6}$=0，π，2π，3π．
∴方程g（x）=t在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和=$\frac{1}{4}$$[\frac{π}{6}+（π+\frac{π}{6}）+（2π+\frac{π}{6}）+（3π+\frac{π}{6}）]$=$\frac{5π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖象變換、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、計(jì)算能力，屬于中檔題．