Question

某工程隊共有400人，要建造一段3600米的高速公路，工程隊若將400人分成兩組，甲組完成1000米的軟土地帶，乙完成1600迷的硬土地帶，兩組同時施工，當兩組全部完成施工，施工結(jié)束后，以最后完成施工的一組所需要的時間作為整個工程的工期，據(jù)測算，軟硬土地帶的工程量需要一名工人分別工作50工時和20工時．
（1）如何安排兩組的人數(shù)，使甲組比乙組先完成施工？
（2）設(shè)甲組人數(shù)為x人，全部工程的工期為f（x），求f（x）的表達式，并求出定義域．
（3）如何安排兩組的人數(shù)，使工程工期最短？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)甲組人數(shù)為x則軟土工作組的時間為h（x）=

50×1000

x

，硬土工作組的時間為g（x）=

20×200

400-x

，由

50×1000

x

＞

20×200

400-x

，可得結(jié)論；
（2）全部工程所用的時間f（x）=

50000 x ，0＜x≤222 4000 400-x ，222＜x＜400

；
（3）由（2）知f（x）在（0，222]上為減函數(shù)，在[222，400）上為增函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)甲組人數(shù)為x
則軟土工作組的時間為h（x）=

50×1000

x

，硬土工作組的時間為g（x）=

20×200

400-x

，
∴由

50×1000

x

＞

20×200

400-x

，可得x＜222

2

9

，
∴甲組人數(shù)小于等于222時，甲組比乙組先完成施工；
（2）全部工程所用的時間f（x）=

50000 x ，0＜x≤222 4000 400-x ，222＜x＜400

；
（3）由（2）知f（x）在（0，222]上為減函數(shù)，在[222，400）上為增函數(shù)
∴當x=222時，h（x）有最小值
又f（222）=225.2，f（223）=225.9，
∴x=222時即軟硬地分別安排222人和178人時，全隊工程時間最短．

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題，屬于中檔題．