Question

函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），下列說法中正確的是

 

．（填寫正確的序號）
①當(dāng)a=0時，f（x）是偶函數(shù)；       
②f（x）一定存在零點；
③f（x）在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減；    
④當(dāng)0＜a＜1時，f（x）的最小值為a-a²．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|的圖象，是由函數(shù)y=x²-2ax+a的圖象經(jīng)過縱向?qū)φ圩儞Q得到的，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的定義，零點的定義，函數(shù)的單調(diào)性和最值，逐一判斷四個結(jié)論，可得答案．

解答： 解：當(dāng)a=0時，f（x）=x²，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），故f（x）是偶函數(shù)，即①正確；
∵x²-2ax+a=0的△=4a²-4a，當(dāng)a∈（0，1）時，△＜0，y=x²-2ax+a的圖象與x軸無交點，則函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|的圖象與x軸也無交點，故f（x）不一定存在零點，故②錯誤；
函數(shù)y=x²-2ax+a在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減，當(dāng)其圖象與x軸有兩個交點時，經(jīng)過縱向?qū)φ圩儞Q所得函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|在（-∞，x₁]上單調(diào)遞減，在[x₁，a]單調(diào)遞增，（x₁是函數(shù)y=x²-2ax+a較小的零點），故③錯誤；
當(dāng)0＜a＜1時，y=x²-2ax+a的圖象與x軸無交點，此時x²-2ax+a＞0恒成立，故f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a，其最小值為a-a²．故④正確；
故答案為：①④

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的定義，零點的定義，函數(shù)的單調(diào)性和最值，函數(shù)圖象的對折變換，綜合性強，屬于難題．