Question

已知函數(shù)f（x）=cos

3

2

x，f（x）=a在區(qū)間（

π

3

，2π）上恰有三個不同的實數(shù)根，且三個實數(shù)根從小到大依次成等比數(shù)列，則這三個實數(shù)根之和為（　　）

• A、

  14π

  3

• B、

  14π

  9

• C、

  28π

  3

• D、

  28π

  9

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的圖象

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：作出函數(shù)y=cos

3

2

x的圖象和直線y=a，得兩個圖象在（

π

3

，2π）上有三個交點A、B、C，滿足A、B關(guān)于x=

2π

3

對稱且B、C關(guān)于x=

4π

3

對稱，結(jié)合三個根從小到大依次成等比數(shù)列列出橫坐標(biāo)x₁、x₂、x₃的方程組，解之可得x₂的值，從而，x₁=

4π

9

，x₂=

8π

9

，x₃=

16π

9

，得三個實數(shù)根之和為

28π

9

．

解答： 解：同一坐標(biāo)系中作出y=cosx和y=a的圖象，
設(shè)兩個圖象在（

π

3

，2π）上有三個交點A、B、C，則A、B、C的
橫坐標(biāo)分別對應(yīng)方程f（x）=a的三個根，
得A（x₁，a），B（x₂，a），A（x₃，a），
根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對稱性，得

x1+x2

2

=

2π

3

，得x₁+x₂=

4π

3

且

x2+x3

2

=

4π

3

，x₂+x₃=

8π

3

∵三個根從小到大依次成等比數(shù)列，即x₂²=x₁x₃，
∴x₂²=（

4π

3

-x₂）（

8π

3

-x₂），解之得x₂=

8π

9

，
因此，x₁=

4π

9

，x₂=

8π

9

，x₃=

16π

9

，得三個實數(shù)根之和為

28π

9

．
故選：D．

點評：本題給出余弦曲線上三個點構(gòu)成兩組對稱的點，著重考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．