【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知?jiǎng)訄AS過(guò)定點(diǎn)P(﹣2 ),且與定圓Q:(x﹣2 )2+y2=36相切,記動(dòng)圓圓心S的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)曲線C與x軸,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M,N為橢圓C上相異的兩點(diǎn),其中點(diǎn)M在第一象限,且直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù),試判斷直線MN的斜率是否為定值.如果是定值,求出這個(gè)值;如果不是定值,說(shuō)明理由;
(3)在(2)條件下,求四邊形AMBN面積的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)圓S的半徑為R,
∵點(diǎn) 在圓 內(nèi),且兩圓相切
∴設(shè)PS=R,QS=6﹣R,
∴ ,
∴圓心S的軌跡為以P,Q為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓
∴2a=6,2c=4 ,∴a=3,c=2 ,∴b2=1,
∴曲線C的方程為
(2)解:由(1)可知A(3,0),B(0,1)
設(shè)AM的斜率為k,則直線AM方程為y=k(x﹣3),直線BN方程為y=﹣kx+1
由 ,得M點(diǎn)坐標(biāo)為 …
由 ,得
所以MN的斜率
(3)解:設(shè)MN的方程為 ,
由 ,得2x2+6mx+9m2﹣9=0
則 ,
A到直線MN的距離分別為
B到直線MN的距離分別為
所以四邊形AMBN面積 =
又﹣1<m<1,所以四邊形AMBN面積的取值范圍是
【解析】(1)根據(jù)兩圓相切可得出P S + Q S = P Q,進(jìn)而得到圓心S的軌跡為以P,Q為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓,利用已知求出橢圓的方程。(2)由斜截式求出兩條直線的方程,聯(lián)立它們與橢圓的方程,求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出MN的斜率。(3)聯(lián)立直線和橢圓的方程,消去y得到關(guān)于x的方程2x2+6mx+9m2﹣9=0,利用韋達(dá)定理,求出 x M+ x N 、xM .xN 的表達(dá)式,分別求出MN、以及A到直線MN的距離分別為 d1 和B到直線MN的距離分別為 d2,由題意四邊形AMBN面積 S = S △ AMN + S △ BMN= M N ( d 1 + d 2 ),再根據(jù)m的取值范圍進(jìn)而得到邊形AMBN面積的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=log2( +a).
(1)當(dāng)a=5時(shí),解不等式f(x)>0;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個(gè)元素,求a的取值范圍.
(3)設(shè)a>0,若對(duì)任意t∈[ ,1],函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值與最小值的差不超過(guò)1,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次趣味校園運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上,高一、高二、高三代表隊(duì)人數(shù)分別為120人、120人、n人.為了活躍氣氛,大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng),并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人在前排就座,其中高二代表隊(duì)有6人.
(1)求n的值;
(2)把在前排就座的高二代表隊(duì)6人分別記為a,b,c,d,e,f,現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng).求a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率;
(3)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是:代表通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[0,1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)x,y,并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”,則該代表中獎(jiǎng);若電腦顯示“謝謝”,則不中獎(jiǎng),求該代表中獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為奇函數(shù),為實(shí)常數(shù).
(1)求的值;
(2)證明:在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
(3)若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)的值,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的離心率為 ,且雙曲線C與斜率為2的直線l相交,且其中一個(gè)交點(diǎn)為P(﹣3,0).
(1)求雙曲線C的方程及它的漸近線方程;
(2)求以直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱臺(tái)DEF ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).
(1)求證:平面ABED∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求證:平面BCD⊥平面EGH.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)分別為和(萬(wàn)元),它們與投入資金(萬(wàn)元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式,,今將150萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投資金額不低于25萬(wàn)元.
(1)設(shè)對(duì)乙產(chǎn)品投入資金萬(wàn)元,求總利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
(2)如何分配使用資金,才能使所得總利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:y=f(x﹣1)的圖象關(guān)于(1,0)點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)x≥0時(shí)恒有f(x﹣ )=f(x+ ),當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=ex﹣1,則f(2017)+f(﹣2016)=( )
A.1﹣e
B.﹣1﹣e
C.e﹣1
D.e+1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價(jià)格(元)與時(shí)間(天)組成有序?qū)?/span>,點(diǎn)落在右方圖象中的兩條線段上,該股票在30天內(nèi)(包括30天)的日交易量(萬(wàn)股)與時(shí)間(天)的函數(shù)關(guān)系為: , ,
(1)根據(jù)提供的圖象,寫出該種股票每股的交易價(jià)格(元)與時(shí)間(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系式;
(2)用(萬(wàn)元)表示該股票日交易額,寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出這30天中第幾天日交易額最大,最大值為多少?
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