Question

13．設(shè)橢圓$M：\frac{x^2}{{2{c^2}}}+\frac{y^2}{c^2}=1$，其中c＞0．
（1）若橢圓M的焦點為F₁、F₂，且$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{6}，P$為M上一點，求|PF₁|+|PF₂|的值；
（2）如圖所示，A是橢圓上一點，且A在第二象限，A與B關(guān)于原點對稱，C在x軸上，且AB與x軸垂直，若$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=-4$，△ABC的面積為4．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線l與橢圓M交于P、Q，且四邊形APCQ為平行四邊形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=$\sqrt{6}$，即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$，再由橢圓的定義，即可得到所求值；
（2）①設(shè)A（x₁，y₁）（x₁＜0，y₁＞0），B（-x₁，-y₁），C（x₁，0），求得向量CA，CB的坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解得y₁，再由三角形的面積公式，求得x₁，可得A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，進而得到橢圓M的方程；
②由AC的中點為（-2，1），由題可知PQ的中點為（-2，1），設(shè)P（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），代入橢圓方程，得到x₂+x₃=-4，y₂+y₃=2，進一步得到$\frac{{y}_{2}-{y}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}=1$，則直線l的方程可求．

解答 解：（1）由|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{6}$，
可得c=$\sqrt{6}$，即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$，
由橢圓的定義可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=4$\sqrt{3}$；
（2）①設(shè)A（x₁，y₁）（x₁＜0，y₁＞0），B（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
∵$\overrightarrow{CA}$=（0，y₁），$\overrightarrow{CB}$=（-2x₁，-y₁），
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=-y₁²=-4，
∵y₁＞0，∴y₁=2．
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$|y₁|•|2x₁|=4，解得x₁=-2，即A（-2，2），
由點A在M上，即有$\frac{4}{2{c}^{2}}+\frac{4}{{c}^{2}}=1$，解得c=$\sqrt{6}$，
∴橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$；
②∵AC的中點為（-2，1），
∴由題可知PQ的中點為（-2，1），
設(shè)P（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
則$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=12}\\{{{x}_{3}}^{2}+2{{y}_{3}}^{2}=12}\end{array}\right.$，即（x₂-x₃）（x₂+x₃）+2（y₂-y₃）（y₂+y₃）=0，
∵x₂+x₃=-4，y₂+y₃=2，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{3}}{{x}_{2}-{x}_{3}}=1$．
∴直線l的方程為：y-1=x+2即y=x+3．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．