Question

18．下列命題正確的是（　�。�

• A． 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則a＞b是cosA＜cosB的充要條件
• B． 已知$p：\frac{1}{x+1}＞0$，則$?p：\frac{1}{x+1}≤0$
• C． 命題p：對任意的x∈R，x²+x+1＞0，則?p：對任意的x∈R，x²+x+1≤0
• D． 存在實(shí)數(shù)x∈R，使$sinx+cosx=\frac{π}{2}$成立

Answer 1

分析 選項(xiàng)A因?yàn)锳、B是三角形的內(nèi)角，所以A、B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是減函數(shù)．由此知△ABC中，“A＞B”⇒“cosA＜cosB”，即可得答案；
選項(xiàng)B，根據(jù)命題的否定求解可知不正確；
選項(xiàng)C，根據(jù)命題“對任意的x∈R，x²+x+1＞0”是全稱命題，其否定是對應(yīng)的特稱命題，從而得出答案．選項(xiàng)D，sinx+cosx的最大值為$\sqrt{2}$，而$\frac{π}{2}$$＞\sqrt{2}$，從而可得結(jié)論．

解答 解：對于A，在△ABC中，a＞b?A＞B?cosA＜cosB，可得a＞b是cosA＜cosB的充要條件，正確．
對于B，p：x＞-1，則?p：x≤-1，而$\frac{1}{1+x}$≤0的解集是x＜-1，不正確；
對于C，命題p：對任意的x∈R，x²+x+1＞0，則?p：存在x∈R，x²+x+1≤0，不正確；
對于D，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+45°）最大值為$\sqrt{2}$，∵$\frac{π}{2}$$＞\sqrt{2}$，∴不正確．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查充要條件的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意余弦函數(shù)單調(diào)性的合理運(yùn)用，全稱命題與特稱命題的相互轉(zhuǎn)化．要注意兩點(diǎn)：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只對結(jié)論進(jìn)行否定．