Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x），對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＞0，
（1）求f（0）；    
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性；
（3）求證：x∈R時 f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件，令x=y=0，則f（0）=2f（0），即可得到f（0）；
（2）由條件可令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，由奇偶性的定義即可判斷；
（3）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由于當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＞0，則f（x₂-x₁）＞0，即有f（x₂）+f（-x₁）＞0，再由（2）的結(jié)論和單調(diào)性的定義，即可判斷．

解答： （1）解：對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，則f（0）=2f（0），
即有f（0）=0；
（2）解：函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即有f（-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由于當(dāng)x＞0時，恒有f（x）＞0，
則f（x₂-x₁）＞0，即有f（x₂）+f（-x₁）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故x∈R時，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．