Question

（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過上一點(diǎn)P作拋物線的兩切線，切點(diǎn)分別為A、B，

（1）求證：；

（2）求證：A、F、B三點(diǎn)共線；

（3）求的值．

 

Answer 1

【答案】

（3）

【解析】

試題分析：（1）準(zhǔn)線為y=-1,F(0,1),設(shè)P(n,-1),,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013022514225618226465/SYS201302251423309791496896_DA.files/image003.png">,所以，

所以,即,

,即,

所以a,b是方程,

所以,

所以.

(2)由（1）知a+b=2n,,

所以直線AB的方程為即

因?yàn)閍+b=2n,ab=-4,所以直線AB的方程為,

所以恒過點(diǎn)F（0，1）.

(3)

,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013022514225618226465/SYS201302251423309791496896_DA.files/image018.png">,所以,

所以為常數(shù).

考點(diǎn)：直線與拋物線的相切，直線的斜率，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，向量的數(shù)量積.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求出切點(diǎn)A，B處的導(dǎo)數(shù)即A,B的斜率，然后證明斜率之積為-1，來(lái)證明兩條切線垂直.證明A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，關(guān)鍵是利用第（1）問的結(jié)果，求出AB的點(diǎn)方程，證明點(diǎn)F的坐標(biāo)滿足此方程即可.第（3）問分別求出和都用n表示，從而證明其為定值.