Question

20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A是雙曲線C的左頂點，P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，y_p）在雙曲線的一條漸近線上，M為線段F₁P的中點，且F₁P⊥AM，則該雙曲線C的漸近線為（　�。�

• A． y=±$\sqrt{3}$x
• B． y=±2x
• C． y=±$\sqrt{2}$x
• D． y=±$\sqrt{5}$x

Answer 1

分析 求得雙曲線的左頂點A（-a，0），F(xiàn)₁（-c，0），由平面幾何知識可得|AP|=|AF₁|，求得P的坐標(biāo)，運用兩點的距離公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，化簡整理可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點A（-a，0），F(xiàn)₁（-c，0），
M為線段F₁P的中點，且F₁P⊥AM，可得|AP|=|AF₁|，
OP為漸近線方程：y=-$\frac{a}$x，
P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，y_p）即為P（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
即有$\sqrt{（a-\frac{{a}^{2}}{c}）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=c-a，
即有a²（c-a）²+a²b²=c²（c-a）²，
（c²-a²）（c-a）²=a²b²，
可得c-a=a，即c=2a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
即有雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\sqrt{3}$x．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用平面幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合和化簡整理的運算能力，屬于中檔題．