Question

8．已知函數(shù)f（x）=2e^x-m-x，其中m為實(shí)數(shù)．
（1）若m≤1，對(duì)任意x∈R，記f（x）的最小值為g（m），求g（m）的最小值；
（2）若f（x）在[0，2m]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）在∈（-∞，m-ln2）遞減，在（m-ln2，+∞）遞增，f（x）的最小值為g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，g（m）的最小值g（1）=kn2．
（2）依題意的m＞0．由（1）得函數(shù)f（x）在∈（-∞，m-ln2）遞減，在（m-ln2，+∞）遞增且f（x）的最小值為f（m-ln2）=1+ln2-m．f（x）在[0，2m]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則必須滿足：$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{0＜m-ln2＜2m}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2{e}^{-m}≥0}\\{f（2m）=2{e}^{m}-2m≥0}\\{f（m-ln2）=1+ln2-m＜0}\end{array}\right.$解得m．

解答 解：（1）f′（x）=2e^x-m-1，令f′（x）=2e^x-m-1=0，得x=m-ln2．
當(dāng)x∈（-∞，m-ln2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（m-ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在∈（-∞，m-ln2）遞減，在（m-ln2，+∞）遞增，
f（x）的最小值為g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，
∵m≤1，∴g（m）的最小值g（1）=kn2．
（2）依題意的m＞0．由（1）得函數(shù)f（x）在∈（-∞，m-ln2）遞減，在（m-ln2，+∞）遞增
且f（x）的最小值為f（m-ln2）=1+ln2-m．
f（x）在[0，2m]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則必須滿足：$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{0＜m-ln2＜2m}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2{e}^{-m}≥0}\\{f（2m）=2{e}^{m}-2m≥0}\\{f（m-ln2）=1+ln2-m＜0}\end{array}\right.$
解得：m＞1+ln2
m的取值范圍為（1+ln2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值，及零點(diǎn)問題，屬于中檔題，