Question

1．已知函數(shù)f（x）=（2x²-a-1）e^x
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[-2，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)m，n，滿足m+n≤mn+1，求f（a）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由f′（x）＞0，再根據(jù)函數(shù)f（x）在[-2，2]上為單調(diào)函數(shù)，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≤2x²+4x-1=2（x+1）²-3在[-2，2]上恒成立問(wèn)題，解之即得；
（Ⅱ）f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)m，n，即f′（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，根據(jù)判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出a的取值范圍，在利用導(dǎo)數(shù)求出f（a）的取值范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在[-2，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f′（x）=（2x²+4x-a-1）e^x≥0在[-2，2]上恒成立，
即2x²+4x-a-1≥0，
∴a≤2x²+4x-1=2（x+1）²-3在[-2，2]上恒成立，
∴a≤-3；
（Ⅱ）∵f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)m，n，
∴f′（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即2x²+4x-a-1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根m，n，
∴△=16+8（a+1）＞0，
解得a＞-3，
由根與系數(shù)的關(guān)系可知m+n=2，mn=-$\frac{a+1}{2}$，
∵m+n≤mn+1，
∴-2≤-$\frac{a+1}{2}$+1，
解得a≤5，
∴-3＜a≤5，
∵f（a）=（2a²-a-1）e^a，
∴f′（a）=（2a²+3a-2）e^a，
令f′（a）=0，解得a=-2或a=$\frac{1}{2}$，
∴f（-3）=20e^-3，f（-2）=9e^-2，f（$\frac{1}{2}$）=-$\sqrt{e}$，f（5）=44e⁵，
∴f（a）的取值范圍[-$\sqrt{e}$，44e⁵]．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．