Question

13．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．
（Ⅰ）求證：AD⊥BC；
（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2$\sqrt{3}$，求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，取BC的中點O，連接OD，AD．利用等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)可得：OD⊥BC，OA⊥BC．再利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得出；
（II）又AB=CB=4，AB=AC，可得△ABC是正三角形，進(jìn)而得到△OAD是正三角形，利用三棱錐A-BCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△OAD}•BC$即可得出．

解答 （I）證明：如圖所示，取BC的中點O，連接OD，AD．
∵BC=CD，∠BCD=60°．∴△BCD是正三角形，
∴OD⊥BC，
又∵AB=AC，∴OA⊥BC．
∵OA∩OD=O，
∴BC⊥平面OAD．
∴AD⊥BC．
（II）解：又AB=CB=4，AB=AC，
∴△ABC是正三角形，
∵△BCD是正三角形，
∴OA=OD=2$\sqrt{3}$，
∴△OAD是正三角形，
∴S_△OAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=3$\sqrt{3}$．
∴三棱錐A-BCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△OAD}•BC$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×4$=4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．