Question

6．如圖，橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x²-y²=4的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓x²+y²=4．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m交橢圓于A、B兩點，橢圓上一點P（$\sqrt{2}$，1），求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，可得橢圓的離心率，又圓x²+y²=4的直徑為4，則2a=4，從而列出關(guān)于a，b，c的方程求得a，b，c．最后寫出橢圓M的方程；
（2）直線AB的直線y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m．將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得△PAB面積的最大值，從而解決問題．

解答 解：（1）雙曲線x²-y²=4的離心率為$\sqrt{2}$，
則橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
圓x²+y²=4的直徑為4，則2a=4，
得：a=2，又b²=a²-c²，
解得c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
所求橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m，
代入橢圓方程x²+2y²=4，可得x²+$\sqrt{2}$mx+m²-2=0
由△=2m²-4（m²-2）＞0，得-2＜m＜2，
∵x₁+x₂=-$\sqrt{2}$m，x₁x₂=m²-2，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{2{m}^{2}-4（{m}^{2}-2）}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-2{m}^{2}}$，
又P到AB的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$．
則S_△ABP=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$•$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-2{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{{m}^{2}（4-{m}^{2}）}$，
由m²（4-m²）≤（$\frac{{m}^{2}+4-{m}^{2}}{2}$）²=4，
當且僅當m²=4-m²，即m=$±\sqrt{2}$，取得等號．
即有△PAB面積的最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了橢圓的標準方程問題．當研究橢圓和直線的關(guān)系的問題時，�？衫�用聯(lián)立方程，進而利用韋達定理來解決．