Question

16．某商場五一進行抽獎促銷活動，當日在該商場消費的顧客即可參加抽獎活動，抽獎情況如下：消費金額每滿500元，可獲得一次抽獎機會，即設(shè)消費金額x元，x∈[500，1000）可抽獎1次，x∈[1000，1500）可抽獎2次，x∈[1500，2000）可抽獎3次，以此類推．
抽獎箱中有9個大小形狀完全相同的小球，其中4個紅球、3個白球、2個黑球（每次只能抽取一個，且不放回抽取）．
第一種抽獎方式：若抽得紅球，獲獎金10元；若抽得白球，獲獎金20元；若抽得黑球，獲獎金40元．
第二種抽獎方式：抽到紅球，獎金0元；抽到白球，獲得獎金50元；若抽到黑球，獲獎金100元．
（1）若某顧客在該商場當日消費金額為2000元，用第一種抽獎方式進行抽獎，求獲得獎金70元的概率
（2）若某顧客在該商場當日消費金額為1200元，請同學們告訴這位顧客哪種抽獎方式對他更有利．

Answer 1

分析 （1）X=2000可抽獎4次，得獎金70元，共有兩種情形：抽得3紅1黑；抽得1紅3白，由此能求出獲得獎金70元的概率．
（2）X=1200可抽獎2次，用第一種抽獎方式，獲得獎金ξ可能為20，30，40，50，60，80，分別求出概率，得到數(shù)學期望Eξ=40．用第二種抽獎方式，獲得獎金η可能為0，50，100，150，200，分別求出概率，得到數(shù)學期望Eη=$\frac{700}{9}$．從而求出第二種抽獎方式更有利．

解答 解：（1）X=2000可抽獎4次，得獎金70元，
共有兩種情形：抽得3紅1黑；抽得1紅3白，
因此所求事件的概率為$P=\frac{C_4^3C_2^1+C_4^1C_3^3}{C_9^4}=\frac{2}{21}$
（2）X=1200可抽獎2次，
用第一種抽獎方式，獲得獎金ξ可能為20，30，40，50，60，80，
$P（ξ=20）=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=30）=\frac{C_4^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=40）=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{12}$，
$P（ξ=50）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{2}{9}$，
$P（ξ=60）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=80）=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{36}$，
隨機變量ξ的分布列

ξ	20	30	40	50	60	80
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

期望Eξ=$\frac{20}{6}+\frac{30}{3}+\frac{40}{12}+\frac{100}{9}+\frac{60}{6}+\frac{80}{36}$=40．
用第二種抽獎方式，獲得獎金η可能為0，50，100，150，200，
$P（η=0）=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{1}{6}$，
$P（η=50）=\frac{C_4^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{3}$，
$P（η=100）=\frac{C_3^2+C_4^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{11}{36}$，
$P（η=150）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{1}{6}$，
$P（η=200）=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{36}$，
隨機變量的分布列

η	0	50	100	150	200
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

期望Eη=0+$\frac{50}{3}$+$\frac{1100}{36}$+$\frac{150}{6}$+$\frac{200}{36}$=$\frac{700}{9}$．
∴第二種抽獎方式更有利．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意分布列性質(zhì)的合理運用．