Question

1．已知函數(shù)f（x）=2x³-3（a+$\frac{1}{a}}$）x²+6x+1，其中a＞0．
（1）若函數(shù)f（x）沒有極值，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再由函數(shù)f（x）沒有極值，得到函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，問題得以解決，
（2）由函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞減，得到f′（2）≤0且f′（3）≤0，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=6{x^2}-6（{a+\frac{1}{a}}）x+6=6（{x-a}）（x-\frac{1}{a}）$，
由條件，只需${[{6（{a+\frac{1}{a}}）}]^2}-4×6×6≤0$，
即${（a+\frac{1}{a}）^2}≤0$，
所以$a=\frac{1}{a}$，
因為a＞0，
從而a=1．
（2）由條件，知f′（2）≤0且f′（3）≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）（2-\frac{1}{a}）≤0}\\{（3-a）（3-\frac{1}{a}）≤0}\end{array}\right.$，
因為a＞0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）（2a-1）≥0}\\{（a-3）（3a-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得a≤$\frac{1}{3}$或a≥3

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．