Question

函數f（x）=e^x在x=2x_n處的切線與x軸交于點（x_n+1，0），其中n∈N^*，若x₁=

3

2

，則數列（x_n）的前n項和S_n=

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：先利用導數求出切線的斜率，從而求出切線方程，然后根據切線與x軸的交點為（x_n+1，0），可得x_n+1與x_n的關系，再利用等差數列的求和公式求解即可．

解答： 解：由題可得f′（x）=e^x，
所以曲線y=f（x）在點（2x_n，f（2x_n））處的切線方程是：y-f（2x_n）=f′（2x_n）（x-2x_n）．
即y-e2xn=e2xn（x-x_n）．
令y=0，得-e2xn=e2xn（x_n+1-x_n）．
即x_n+1-x_n=-1．
∵x₁=

3

2

，
∴S_n=

3

2

n-

n(n-1)

2

=

4n-n2

2

．
故答案為：

4n-n2

2

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線在某點處的切線，以及導數的幾何意義，同時考查了運算求解的能力和分析問題的能力，屬于基礎題．