Question

雙曲線 C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為C的焦點(diǎn)A為雙曲線上一
點(diǎn)，若|F₁A|=2|F₂A|，則 cos∠AF₂F₁=（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  5

  4

• C、

  5

  5

• D、

  1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),兩直線的夾角與到角問題

專題：計(jì)算題,解三角形,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由兩直線垂直的條件可得漸近線的斜率為2，即有b=2a，再求c=

5

a，運(yùn)用雙曲線的定義和條件，解得三角形
AF₂F₁的三邊，再由余弦定理，即可得到所求值．

解答： 解：由于雙曲線的一條漸近線y=

b

a

x與直線x+2y+1=0垂直，
則一條漸近線的斜率為2，
即有b=2a，c=

a2+b2

=

5

a，
|F₁A|=2|F₂A|，且由雙曲線的定義，可得|F₁A|-|F₂A|=2a，
解得，|F₁A|=4a，|F₂A|=2a，
又|F₁F₂|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF₂F₁=

|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|2

2|AF2|•|F1F2|

=

4a2+4×5a2-16a2

2×2a×2 5 a

=

5

5

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查兩直線的垂直的條件及余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．