Question

2．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x，其中a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
（2）若存在a∈[-2，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=bf（a）有三個不相同的實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{a-2}{2}}\\{a≤\frac{2+a}{2}}\end{array}\right.$，即可求a的取值范圍．
（2）將a分區(qū)間討論，求出單調(diào)區(qū)間解出即可．

解答 解：（1）f（x）=x|x-a|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x，x≥a}\\{-{x}^{2}+（2+a）x，x＜a}\end{array}\right.$，
由f（x）在R上是增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{a-2}{2}}\\{a≤\frac{2+a}{2}}\end{array}\right.$，即-2≤a≤2，則a范圍為-2≤a≤2
（2）①-2≤a≤2，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
關(guān)于x的方程f（x）=bf（a）不可能有三個不相等的實數(shù)解．
②當2＜a≤4時，由（1）知f（x）在（-∞，$\frac{a+2}{2}$]和[a，+∞）上分別是增函數(shù)，
在[$\frac{a+2}{2}$，a]上是減函數(shù)，
當且僅當2a＜b•f（a）＜$\frac{（a+2）^{2}}{4}$時，方程f（x）=b•f（a）有三個不相等的實數(shù)解．
即1＜t＜$\frac{（a+2）^{2}}{8a}$=$\frac{1}{8}$（a+$\frac{4}{a}$+4）．
令g（a）=a+$\frac{4}{a}$，g（a）在a∈（2，4]時是增函數(shù)，
故g（a）_max=5．
∴實數(shù)t的取值范圍是（1，$\frac{9}{8}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的最值，函數(shù)單調(diào)性的運用，滲透了分類討論思想，綜合性較強，是較難的一道題．