Question

已知數(shù)列滿足（為常數(shù)，）
（1）當時，求；
（2）當時，求的值；
（3）問：使恒成立的常數(shù)是否存在？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）   （2）   （3）存在常數(shù),使恒成立．

試題分析：假設題型中,先假設存在,然后在該假設下根據(jù)題中的已知條件去求值或證明,如果最后可得到數(shù)值或證明,則說明存在,否則不存在;分類討論．
（1）當時,根據(jù)已知條件可判斷出其符合等差數(shù)列的等差中項公式,所以知該數(shù)列是等差數(shù)列,此時根據(jù)題中所給的該數(shù)列的前兩項,可求出公差,進而利用等差數(shù)列的通項公式,求出通項．
（2）該題只是給出了數(shù)列的前兩項和一個遞推公式,而此時如果求數(shù)列的通項會相當?shù)姆爆?困難．觀察題目會發(fā)現(xiàn),要求的是當時的第項,項數(shù)很大,所以猜想該數(shù)列的各項之間必然有一定的規(guī)律,故不妨列出數(shù)列的若干項觀察規(guī)律,會發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是一個周期為6的數(shù)列．有了初步判斷之后,可以根據(jù),找到,最終得到,從而證明開始的猜想,然后根據(jù),可以得出結(jié)論,進而求出．
（3）首先假設存在,然后在該假設下根據(jù)題中的已知條件去求,如果最后可得到常數(shù),則說明存在,否則不存在．根據(jù)①,可得②;根據(jù)及,可得③; 將③帶入②有④,此時①④式子含有相同的項,所以1式減④式得．分別討論
或是否成立,并最終形成結(jié)論．
（1）當時,根據(jù)題意可知成立,顯然該式符合等差數(shù)列的等差中項公式,
所以該數(shù)列是等差數(shù)列,根據(jù)題意首項為,公差為,
根據(jù)差數(shù)列的通項公式可知．
（2）根據(jù)題意列出該數(shù)列的一些項,如下:
，，，，，，
，，，，，，
,
我們發(fā)現(xiàn)該數(shù)列為一周期為6的數(shù)列．
事實上，根據(jù)題意可知,,則有①
又因為有②
將②帶入①化簡得③；
根據(jù)③式有，
所以說明該數(shù)列是周期為6的數(shù)列．
因為，所以．
（3）假設存在常數(shù)，使恒成立．
由①,可得②，
及,可得③
將③帶入②有④ 
①式減④式得．
所以，或．
當，時，數(shù)列｛｝為常數(shù)數(shù)列，顯然不滿足題意．
由得，于是，
即對于，都有，
所以，從而．
所以存在常數(shù)，使恒成立．