任意x∈[0，
π
3
]，使3cos2
x
2
+√3sin
x
2
cos
x
2
＜a+
3
2
恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．
考點：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：要使3cos2
x
2
+
3
sin
x
2
cos
x
2
＜a+
3
2
恒成立，只需3cos2
x
2
+
3
sin
x
2
cos
x
2
的最大值小于a+
3
2
即可，由三角函數(shù)知識求最大值可得a的不等式，解不等式可得．
解答： 解：要使3cos2
x
2
+
3
sin
x
2
cos
x
2
＜a+
3
2
恒成立，
只需3cos2
x
2
+
3
sin
x
2
cos
x
2
的最大值小于a+
3
2
即可，
令y=3cos2
x
2
+
3
sin
x
2
cos
x
2
，x∈[0，
π
3
]，
則y=3cos2
x
2
+
3
sin
x
2
cos
x
2
=3•
1+cosx
2
+
3
2
sinx
=
3
2
cos2x+
3
2
sinx+
3
2
=
3
sin（2x+
π
3
）+
3
2
，
∵x∈[0，
π
3
]，∴2x+
π
3
∈[
π
3
，π]，
∴sin（2x+
π
3
）∈[0，1]，
∴當(dāng)sin（2x+
π
3
）=1時，y=
3
sin（2x+
π
3
）+
3
2
取最大值
3
+
3
2
，
∴只需
3
+
3
2
＜a+
3
2
，解得a＞
3

故答案為：a＞
3
點評：本題考查三角函數(shù)的最值，涉及恒成立問題，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在球O的球面上，若AA1⊥平面A1B1C1，A1B1⊥B1C1，AA1=8，A1B1=6，A1C1=2
34
則球O的體積為（　　）
A、
8000
2
3
π
B、
3200
10
3
π
C、360
10
π
D、
1000
2
3
π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若△ABC的面積為
a2
4
，∠A=15°，則
b
c
+
c
b
的值為（　�。�
A、
2
B、2
6
C、2
2
D、
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的分別為a，b，c，若
cosA
cosB
=
b
a
=
2
，則角C的大小為（　�。�
A、60°B、75°
C、90°D、120°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C和y軸相切，圓心在射線x-2y=0（x＞0）上，且被直線y=x+2截得的弦長為4
2
，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線
x2
10-m
+
y2
6-m
=1（m＜6）與曲線
x2
5-m
+
y2
9-m
=1（5＜m＜9），則兩曲線的（　　）
A、頂點相同B、焦點相同
C、焦距相等D、離心率相等

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=loga（x+1-a），求使f（x）＞1的x的值的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線
3
x+y-2
2
=0截圓x2+y2=4所得的弦長是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點M作兩條直線分別交橢圓于A、B兩點，若兩直線與x軸所圍成的三角形為等邊三角形：
①求證：AB∥OM；
②求△MAB面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案