Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點M（2，1）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點M作兩條直線分別交橢圓于A、B兩點，若兩直線與x軸所圍成的三角形為等邊三角形：
①求證：AB∥OM；
②求△MAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點M（2，1）．可得

c a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（2））①證明：兩直線與x軸所圍成的三角形為等邊三角形，可得直線AM，BM的方程分別為：y-1=

3

（x-2），y-1=-

3

（x-2），與橢圓方程聯(lián)立化為13x²+8(

3

-6)x+44-16

3

=0，解得x_A，y_A．同理可得x_B，y_B．證明k_AB=

yB-yA

xB-xA

=k_OM=

1

2

，即可．②由①可設(shè)直線AB的方程為y=

1

2

x+t．與橢圓方程聯(lián)立x²+2tx+2t²-8=0，由于△＞0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，|AB|=

(1+ 1 4 )[(x1+x2)2-4x1x2]

，利用點到直線的距離公式可得點M到直線AB的距離d．再利用S_△MAB=

1

2

d•|AB|，及其導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點M（2，1）．
∴

c a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=8，b²=2，
∴橢圓C的標準方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）①證明：兩直線與x軸所圍成的三角形為等邊三角形，可得直線AM，BM的方程分別為：y-1=

3

（x-2），y-1=-

3

（x-2），
聯(lián)立

y= 3 x+1-2 3 x2+4y2=8

，化為13x²+8(

3

-6)x+44-16

3

=0，
∴2×x_A=

44-16 3

13

，∴x_A=

22-8 3

13

．y_A=

-11-4 3

13

．
同理可得x_B=

22+8 3

13

，y_B=

4 3 -11

13

．
∴k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

1

2

，
∵k_OM=

1

2

，
∴k_OM=k_AB．
∴OA∥AB．
②由①可設(shè)直線AB的方程為y=

1

2

x+t．
聯(lián)立

y= 1 2 x+t x2+4y2=8

，化為x²+2tx+2t²-8=0，
△=4t²-4（2t²-8）＞0，化為t²＜8．
∴x₁+x₂=-2t，x₁x₂=2t²-8．
∴|AB|=

(1+ 1 4 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 ×[4t2-4(2t2-8)]

=

40-5t2

．
點M到直線AB的距離d=

|2-2+2t|

5

=

|2t|

5

．
∴S_△MAB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

|2t|

5

×

40-5t2

=

8t-t3

，
令g（t）=8t-t³，（t²＜8）．
g′（t）=8-3t²，
令g′（t）＞0，解得t2＜

8

3

，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；令g′（t）＜0，解得8＞t2＞

8

3

，此時函數(shù)g（t）單調(diào)遞減．
∴當t2=

8

3

（滿足t²＜8）時，函數(shù)g（t）取得最大值，8×

8

3

-(

8

3

)3=

64

27

．
∴△MAB取得最大值為

64 27

=

8 3

9

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．