Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M∈AA₁，N∈AB，∠C₁MN=90°，B₁N=2MN，則∠MNB₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：空間向量的夾角與距離求解公式

專題：空間角

分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出∠MNB₁的大小．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)M（1，0，b），N（1，a，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），

C1M

=（1，-1，b-1），

MN

=（0，a，-b），

B1N

=（0，a-1，-1），
∵∠C₁MN=90°，B₁N=2MN，
∴

C1M

•

MN

=-a+b（1-b）=0，∴a=b（1-b），
∴cos∠MNB₁=

NM • NB1

| NM |•| NB1 |

=

a2-a+b

2(a2+b2)

=

b2(1-b2)+b2

2[b2(1-b2)+b2]

=

1

2

，
∴∠MNB₁=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力和向量法的合理運(yùn)用．